Übung 8¶
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie II¶
Aufgabe 1)¶
Gegeben sei folgende Wahrscheinlichkeitstabelle:
X: -1 |
X: 3 |
X: 5 |
\(\Sigma\) |
|
|---|---|---|---|---|
Y: 1 |
0,06 |
0,30 |
0,24 |
0,6 |
Y: 2 |
0,04 |
0,20 |
0,16 |
0,4 |
\(\Sigma\) |
0,1 |
0,5 |
0,4 |
1 |
a) Bestimmen Sie die Ergebnismenge.¶
Die Ergebnismenge oder der Ergebnisraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments . Bezeichnet wird die Ergebnismenge bzw. der Ergebnisraum zumeist mit dem griechischen Buchstaben \(\Omega\).
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:¶
Zunächst führt man die beiden Ereignisse zurück auf eine Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\), das heißt auf diejenigen \(\omega = (\omega_{1} , \omega_{2}) ~\epsilon ~\Omega\), die die jeweilige Eigenschaft erfüllen:
\(~~~A := \{ \text{"X ist positiv."} \} = \{\omega = (\omega_{1} , \omega_{2}) ~\epsilon ~\Omega | \omega_{1} > 0 \} = \{ (3,1), (3,2), (5,1), (5,2) \},\)
oder
\(~~~B := \{ \text{"Y ist gleich 2."} \} = \{\omega = (\omega_{1} , \omega_{2}) ~\epsilon ~\Omega | \omega_{2} = 2 \} = \{(-1,2), (3,2), (5,2) \},\)
oder
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Y den Wert 2 annimmt, unter der Bedingung, dass X positiv ist.¶
Gesucht wird nachfolgende (bedingte) Wahrscheinlichkeit:
\(P(A) = 0,90\) ist bereits aus der vorherigen Teilaufgabe bekannt. Man bestimmt zunächst die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(A \cap B\):
Für die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit erhält man dann schließlich:
oder
d) Beweisen Sie, dass die Ergeignisse aus A und B unabhängig sind¶
Die Ereignisse A und B sind unabhängig, denn:
\(P(B∣ A) = 0,40 = P(B)\).
Das bedeutet, die Kenntnis darüber, ob im Zufallsexperiment X ein positiver Wert realisiert worden ist, ändert nicht die Wahrscheinlichkeit, dass im Zufallsexperiment Y der Wert 2 eintritt.
Aufgabe 2)¶
An einer Studie zum Auftreten von Farbenblindheit nimmt eine Gruppe von Personen teil, die sich zu 45% aus Männern (A) und zu 55% aus Frauen (\(\bar{A})\) zusammensetzt. Man weiß, dass im Allgemeinen 6% der Männer farbenblind (B) sind. Dagegen sind nur 0,5% der Frauen farbenblind.
a) Formulieren Sie die obigen Ereignisse als Wahrscheinlichkeiten.¶
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Person zu wählen, die weiblich und farbenblind ist.¶
c) Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse in Worten und bestimmen Sie deren Wahrscheinlichkeiten:¶
c1) : \(\implies\) männlich und farbenblind:
c2) : \(\implies\) weiblich - nicht farbenblind:
c3) : \(\implies\) Totale Wahrscheinlichkeit \(P(B)\), farbenblind insg.:
c4) : \(\implies\) weiblich und farbenblind:
Aufgabe 3)¶
In Hamburg gibt es im Mittel 10% Schwarzfahrer. 70% von ihnen haben keine Fahrkarte. Die Übrigen sind mit einer Fälschung unterwegs. Von den ehrlichen Fahrgästen haben im Mittel 5% ihre Fahrkarte vergessen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrgast ein Schwarzfahrer ist, wenn der Fahrgast keine Fahrkarte hat.
\(S:=\{\text{Schwarzfahrer}\}; ~~~~ K:=\{\text{keine Karte}\}; ~~~~ F:=\{\text{falsche Karte}\}\)
begin{equation}
Aufgabe 4)¶
Betrachtet werden soll der Zufallsvorgang der Ziehung der Lottozahlen (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl).
a) Geben Sie dasjenige Urnenmodell an, mit dem der Zufallsvorgang modelliert werden kann und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit 6 richtige Zahlen anzukreuzen.¶
Bei der Ziehung der Lottozahlen (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl) handelt es sich – wie aus der Vorlesung bereits bekannt – um ein Urnenmodell ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Für die Anzahl an Anordnungsmöglichkeiten bei einer Ziehung vom Umfang \(n = 6\) aus einer Urne vom Umfang \(N = 49\) erhält man daher:
Da für das Ereignis „6 Richtige“ nur eine Anordnungsmöglichkeit existiert, beträgt die (Laplace-)Wahr- scheinlichkeit hierfür:
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit genau 5 richtige Zahlen anzukreuzen.¶
Will man die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „genau 5 Richtige“ berechnen, so müssen fünf der sechs Zahlen auf dem Tippschein mit den gezogenen Zahlen übereinstimmen. Hierfür gibt es \(\binom{6}{5} = 6\) Anordnungsmöglichkeiten. Die verbleibende sechste Zahl auf dem Tippschein darf nicht mit einer der gezogenen Zahlen übereinstim- men, da man sonst das Ereignis „6 Richtige“ hätte. Diese verbleibende Zahl muss daher gleich einer der sich noch in der Lostrommel befindlichen 43 Zahlen sein, wofür es \(\binom{43}{1} = 43\) Möglichkeiten gibt. Somit existieren \(\binom{6}{5} \times \binom{43}{1}\) günstige Ergebnisse für das interessierende Ereignis „genau 5 Richtige“. Die gesuchte (Laplace-)Wahrscheinlichkeit beträgt somit: