Übung 4

Aufgabe 1) Monopol (Klausuraufgabe Wintersemester 20/21, 1.Termin)

Exkurs:

• Monopolist: Preissetzer und Alleinanbieter

• Gewinnmaximierung bei Grenzerlös (MR) = Grenzkosten (MC)

• Preis > Schnittpunkt von MR und MC (durch Nachfragekurve bestimmt)

Gewinnmaximierungsbedingung: Grenzerlös (MR) = Grenzkosten (MC) \(\Rightarrow\) \(P > MR = MC\)

Gewinnfunktion: Gewinn = Erlös - Kosten \(\Rightarrow\) \(\Pi (Q) = P_{D}(Q) \cdot Q − TC(Q)\)

Gehen Sie davon aus, dass das Unternehmen “RainyDays” aufgrund eines revolutionären Öffnungs- /Schließmechanismus als Monopolist auf dem Regenschirmmarkt agiert. Intensive Marktanalysen haben ergeben, dass sich die Nachfrage durch folgende Funktion darstellen lässt:

\[Q(P) = 9 - \left( \frac{1}{3} \right) P\]

Des Weiteren ist bekannt, dass in der Herstellung der Regenschirme 10 € an fixen Kosten und zusätzlich 9 € pro hergestellten Regenschirm anfallen.

a) Stellen Sie die Erlösfunktion (\(TR\)), die Grenzerlösfunktion (\(MR\)), die Kostenfunktion (\(TC\)), die Grenzkostenfunktion (\(MC\)) und die Gewinnfunktion (\(\Pi\)) auf. (5 Punkte)

Berechnen der Preisabsatzfunktion:

\[Q_{D}(P) = 9- \frac{1}{3} \cdot P ~~~ \Rightarrow ~~~ P_{D}(Q) = 27 - 3Q_{D}\]

Erlösfunktion (TR):

\[\begin{split}\text{Erlös} &= \text{Preis} \cdot \text{Menge}\\ TR &= P_{D}(Q) \cdot Q\\ &= (27 - 3Q_{D}) \cdot Q\\ &= 27Q - 3Q^{2}\end{split}\]

Grenzerlösfunktion (MR): (Entspricht der Ableitung der TR-Funktion)

\[\begin{split}\text{Grenzerlös}(MR) &= \frac{\delta \text{Erlös}}{\delta Q}\\ TR'(Q) &= 27 - 6Q\end{split}\]

Kostenfunktion:

\[TC = 10 + 9Q\]

Grenzkostenfunktion:

\[\begin{split}MC &= TC'(Q)\\ &= 9\end{split}\]

Gewinnfunktion:

\[\begin{split}\Pi &= TR - TC \\ \Pi &= 27Q - 3Q^{2} - (10+9Q)\\ \Pi &= 27Q - 3Q^{2} -10 - 9Q\\ \Pi &= 18Q - 3Q^{2} - 10\end{split}\]

b) Bestimmen den gewinnmaximierenden Monopolpreis (\(P_{m}\)) und Monopolmenge (\(Q_{m}\)). Wie hoch ist der Gewinn (\(\Pi_{m}\)) des Unternehmens? (3 Punkte)

Gewinnmaximierende Bedingung:

\[\begin{split}MC &= MR &\\ 9 &= 27 - 6Q_{M} ~~~~&|+6Q ~~ |-9\\ 6Q_{M} &= 18 ~~~&|:6\\ Q_{M} &= 3\end{split}\]

In inverse Nachfrage um Monopolpreis zu bestimmen:

\[\begin{split}P_{M}(3) &= 27 - 3 \cdot 3\\ &= 27 - 9\\ &= 18\end{split}\]

Gewinn:

\[\begin{split}\Pi (Q) &= TR - TC\\ \Pi (Q) &= 18Q - 3Q^{2} - 10\\ \Pi (3) &= 18 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{2} - 10\\ &= 54 - 27 - 20\\ &= 17\end{split}\]

Antwortsatz: Der gewinnmaximierende Preis beträgt 18 €, zu diesem Preis werden 3 Regenschirme angeboten. Der Gewinn der Firma beträgt 17 €.

Alternativer Lösungsansatz:

\[\begin{split}\frac{\delta \Pi}{\delta Q} &= -6Q + 18 = 0 ~~~~ \Rightarrow Q^{*} = 3\\ \frac{\delta^{2} \Pi}{\delta Q} &= -6 < 0\end{split}\]

c) Wird die Punktpreiselastizität für die vom Monopolisten gewählte gewinnmaximierende Preis-Mengen-Kombination im elastischen oder unelastischen Bereich der Nachfrage sein? Begründen Sie Ihre Antwort! (3 Punkte)

• Der Monopolist wird sich an einem elastischen Punkt auf der Nachfragefunktion befinden.

• An einem unelastischen Bereich hätte er die Möglichkeit durch eine Preiserhöhung seinen Gewinn zu vergrößern, indem er eine geringere Menge zu einem höheren Preis anbietet.

• Wenn er gewinnmaximierend handelt, wird diese Möglichkeit nicht bestehen, d.h. er muss sich an einem elastischen Punkt befinden.

Alternativ (rechnerisch):

\[\begin{split}\varepsilon &= Q'(P) \cdot \frac{P}{Q}\\ &= -\frac{1}{3} \cdot \frac{18}{3} \\ &= -\frac{6}{3}\\ &= -2 = |2| > 1 ~~~ \Rightarrow \text{elastisch}\end{split}\]

Exkurs: Erläutern Sie, wieso der Monopolist über keine Angebotsfunktion verfügt.

Vollständige Konkurrenz:

• Unternehmer im Markt ist Preisnehmer, d.h. die Mengenausdehnung eines einzelnen Anbieters hat keine Auswirkung auf den Marktpreis.

Monopol:

• Unternehmen ist Preisgeber.

• Festlegung des Preises in dem Augenblick, in dem der Monopolist die Angebotsmenge wählt.

• Angebotsentscheidung abhängig von Nachfragekurve.

• Nachfragekurve definiert die Grenzerlöskurve.

• Grenzerlöskurve bestimmt gewinnmaximale Ausbringungsmenge des Monopolisten.

d) Der vom Unternehmen RainyDays entwickelte Mechanismus konnte von konkurrierenden Herstellern adaptiert werden, sodass RainyDays sich nun in einem Markt mit vielen Anbietern und vielen Nachfragern wiederfindet. Berechnen Sie für diese Marktform den Preis (\(P_{vk}\)) und die Menge (\(Q_{vk}\)) im markträumenden Gleichgewicht. (3 Punkte)

Markträumendes Gleichgewicht in der vollständigen Konkurrenz:

\[\begin{split}\text{Bedingung:} ~~~~ MC &= P_{D}(Q)\\ 9 &= 27 -3Q\\[1em] Q_{VK} &= 6 \text{ ME}\\ P_{VK} &= 27 - 3(6) = 9 \text{ ME}\end{split}\]

Antwortsatz: Die markträumende Menge beträgt 6 Regenschirme, und der markträumende Preis 9 €.

e) Betrachten Sie die folgende Abbildung. Beschriften Sie die unten aufgeführten Begriffe korrespondierend zur Abbildung. (6 Punkte)

Abschnittbereiche mit und ohne Monopol.

Abschnittbereiche mit und ohne Monopol.

Fixkosten	E
Nachfragefunktion	C
Konsumentenrente im Monopol	J
Monopolpreis	D
Preis bei vollständiger Konkurrenz	F
Grenzerlösfunktion	P
Kostenfunktion	A
Monopolgewinn	L
Wohlfahrtsverlust im Monopol	K
Monopolmenge	G
Menge bei vollständiger Konkurrenz	N
Konsumentenrente bei vollständiger Konkurrenz	JLK

Zusatzübung: Beschriften Sie folgende schematische Zeichnung mit den richtigen Begrifen:

Abschnittbereiche mit und ohne Monopol - Zusatzübung.

Aufgabe 2) Unternehmerverhalten

Marktforschungsinstitute haben herausgefunden, dass die Marktnachfrage für den Verpackungsmarkt durch folgende Funktion geschätzt werden kann: \(P_{D}(Q) = 96 − 12Q\)

a) Berechnen Sie die produzierte Menge bei einem Marktpreis von \(P = 4\) unter der Annahme, dass im Markt zahlreiche konkurrierende Hersteller tätig sind.

\[\begin{split}P_{D}(4) &= 96 -12Q\\ 4 &= 96 -12Q ~~~~|\text{Seiten tauschen}\\ -12Q + 96 &= 4\\ -12Q &= -96 + 4\\ -12Q &= -92 ~~~~|:(-12)\\ Q &= 7,667 \text{ ME}\end{split}\]

Antwortsatz: Bei einem Marktpreis von P=4 und unter der Annahme, dass im Markt zahlreiche konkurrierende Hersteller tätig sind, erfolgt eine produzierte Menge von \(Q = 7,667 \text{ ME}\).

b) Berechnen Sie den Preis, die produzierte Menge und den Gewinn eines Unternehmers, wenn dieser als alleiniger Anbieter agieren kann. Wie ist das Verhältnis zwischen Preis und Durchschnittskosten bei dieser Ausbringungsmenge?

Die Produktion des Verpackungsherstellers wird durch die folgende Kostenfunktion beschrieben: \(TC_{Q} = 34 - 4Q + 0,5Q^{2}\)

Gewinnfunktion (Monopol):

\[\begin{split}C(Q) &= 34 - 4Q + 0,5Q^{2}\\ \Pi(Q) &= P_{D}(Q) \cdot Q - C(Q)\\ &= (96Q - 12Q^{2}) - (34 - 4Q + 0,5Q^{2})\\ &= -12,5Q^{2} + 100Q - 34\end{split}\]

Monopolpreis (\(P_{\text{Monopol}})\):

\[\begin{split}P_{D}(4) &= 96 -12 \cdot 4\\ &= 48\end{split}\]

Monopol-Produktionsmenge (\(Q_{\text{Monopol}})\):

\[\begin{split}\Pi '(Q) &= 0\\ -25Q + 100 &= 0\\ 25Q &= 100 ~~~~|:25\\ &= 4\end{split}\]

Durchschnittskosten (DK):

\[\begin{split}DK(Q) &= \frac{34}{Q} - 4 + 0,5 \cdot Q\\ DK(4) &= \frac{34}{4} -4 + 0,5 \cdot 4\\ DK(4) &= 6,5\end{split}\]

Monopolgewinn: Einsetzen von \(Q_{\text{Monopol}} = 4\) in die Gewinnfunktion:

\[\begin{split}\Pi (4) &= -12,5Q^{2} + 100Q -34\\ &= -12,5 \cdot (4)^{2} + 100 \cdot (4) - 34\\ \Pi &= 166\end{split}\]

Antwortsatz: Die Produktion des Monopolisten beträgt 4 ME, der Preis beträgt 48 GE und der Gewinn 166 GE. Das Verhältnis zwischen Preis und Durchschnittskosten…

c) Skizzieren Sie die Ergebnisse aus a) und b) in einer Grafik. Berechnen Sie den Wohlfahrtsverlust.

Wohlfahrtsverlust

Alte Wohlfahrt: Konsumentenrente = \(\frac{(69-4) \cdot 7,67}{2} = 352,8\).

Neue Wohlfahrt: neue Konsumentenrente + Monopolgewinn = \((96 -48) \cdot 4 \cdot 0,5 + 166 = 262\).

Wohlfahrtsverlust: Alte Wohlfahrt - Neue Wohlfahrt = \(352,8 - 262 = 90,8\).

d) Stellen Sie sich vor, dass ein neuer Anbieter in den Markt kommt und die Produkte leicht unterschiedlich sind. (Wir uns also in der Monopolistischen Konkurrenz bewegen). Alle Anbieter haben die bekannte Kostenstruktur. Die Nachfrage, welcher sich ein einzelnes Unternehmen gegenübersieht, wird durch folgende Funktion dargestellt. \(P_{D}(Q) = 30 − 8Q\). Geben Sie für die Firma den optimalen Preis und die optimale Menge an. Wie ist das Verhältnis zwischen Preis und Durchschnittskosten bei dieser Ausbringungsmenge? Überprüfen Sie, ob es sich um ein langfristiges Gleichgewicht handelt.

Gewinnfunktion (monopolistische Konkurrenz):

\[\begin{split}C(Q) &= 34 - 4Q + 0,5^{2}\\ \Pi (Q) &= P_{D}(Q) \cdot Q - C(Q)\\ &= (30Q - 8Q^{2}) - (34-4Q+0,5Q^{2})\\ &= -8,5Q^{2} + 34Q - 34\end{split}\]

Produktionsmenge (monopolistische Konkurrenz):

\[\begin{split}\Pi '(Q) &= 0\\ -17Q + 34 &= 0\\ 17Q &= 34 ~~~~|:17\\ Q_{MK} &= 2\end{split}\]

MK-Preis:

\[\begin{split}P_{D}(2) &= 30 - 8 \cdot 2\\ P_{MK} &= 14\end{split}\]

Durchschnittskosten:

\[\begin{split}DK(Q) &= \frac{34}{Q} - 4 + 0,5 \cdot Q\\ DK(4) &= \frac{34}{2} - 4 + 0,5 \cdot 2\\ DK(4) &= 14\end{split}\]

MK-Gewinn: Einsetzen von Q_MK = 2 in die Gewinnfunktion:

\[\begin{split}\Pi (2) &= -8,5Q^{2} + 34Q -34\\ &= -8,5 \cdot (2)^{2} + 34 \cdot (2) -34\\ \Pi &= 0\end{split}\]

Antwortsatz: Die Produktion des Anbieters beträgt 2 ME, der Preis beträgt 14 GE und der Gewinn 0 GE. Das Verhältnis zwischen Preis und Durchschnittskosten…