Übung 7¶
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie I¶
Aufgabe - Lineare Regression¶
Für die Ereignisse A, B und C aus einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum gelte folgendes Mengendiagramm (Venn-Diagramm):
\[\begin{split}P(A) &= 0.5, & P(B) &= 0.2, & P(C) &= 0.3, \\
P(A \cup B) &= 0.7, & P(A \cup C) &= 0.6, & P(B \cap C) &= 0.1\end{split}\]
Berechnen Sie nachfolgende Wahrscheinlichkeiten:
a) \(P(\bar{A})\) und \(P(A \cap B)\)¶
\[\begin{split}P(\bar{A}) &= 1 - P(A) = 1 - 0.5 = 0.5 \\[2ex]
P(A \cap B) &= P(A) + P(B) - P(A \cup B) \\
&= 0.5 + 0.2 - 0.7 = 0 \\
\implies &\text{disjunkte Ereignisse.}\end{split}\]
b) \(P(\bar{A} \cap \bar{C})\) und \(P(\bar{A} \cup \bar{C})\)¶
\[\begin{split}P(\bar{A} \cap \bar{C}) &= P(\overline{A \cup C}) = 1 - P(A \cup C) = 1 - 0.6 = 0.4 \\[2ex]
P(\bar{A} \cup \bar{C}) &= P(\overline{A \cap C}) \\
&= 1 - P(A \cap C) \\
&= 1 - (P(A) + P(C) - P(A \cup C)) \\
&= 1 - (0.5 + 0.3 - 0.6) = 0.8 \\[1ex]
\text{oder} \quad & \\
P(\bar{A} \cup \bar{C}) &= P(\bar{A}) + P(\bar{C}) - P(\bar{A} \cap \bar{C}) \\
&= 0.5 + 0.7 - 0.4 = 0.8\end{split}\]
c) \(P(A \cap B \cap C)\)¶
\[P(A \cap B \cap C) = 0, \quad \text{da } P(A \cap B) = 0\]
d) \(P(\bar{B} \cap C)\) und \(P(\bar{C} \cap B)\)¶
\[\begin{split}P(C) &= P(C \cap B) + P(C \cap \bar{B}) \\
P(B) &= P(B \cap C) + P(B \cap \bar{C}) \\[2ex]
\implies P(C \cap \bar{B}) &= P(C) - P(C \cap B) \\
&= 0.3 - 0.1 \\
&= 0.2 \\[1ex]
P(B \cap \bar{C}) &= P(B) - P(B \cap C) \\
&= 0.2 - 0.1 \\
&= 0.1\end{split}\]
Aufgabe¶
In einem Semester werden die Vorlesungen Mathematik, Statistik und Volkswirtschaftslehre (VWL) angeboten. Von den Studierenden besuchen 59,0 % Statistik, 65,8 % besuchen Mathematik und 37,2 % besuchen VWL, wobei jeder Studierende mindestens eine der Vorlesungen besucht. Außerdem ist bekannt, dass 43,4 % sowohl Mathematik als auch Statistik besuchen, 16,6 % sowohl Mathematik als auch VWL und 12,6 % sowohl Statistik als auch VWL.
a) Skizzieren Sie ein geeignetes Venn-Diagramm.¶
\[\begin{split}P(M) &= 0.658, & P(M \cap S) &= 0.434 \\
P(S) &= 0.59, & P(M \cup V) &= 0.166 \\
P(V) &= 0.372, & P(S \cup V) &= 0.126\end{split}\]
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig ausgewählter Studierender alle drei Vorlesungen besucht.¶
\[\begin{split}&1 - P(M) - P(S) - P(V) + P(M \cap S) + P(M \cap V) + P(S \cap V)\\
=~ &1 - 0.658 - 0.59 - 0.372 + 0.434 + 0.166 + 0.126\\
=~ &0,106\end{split}\]
c) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig ausgewählter Studierender zwar Mathematik, aber nicht Statistik besucht.¶
\[\begin{split}P(P \ S) &= P(M) - P(M \cap S) \\
&= 0.658 - 0.434 \\
&= 0.224\end{split}\]
d) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig ausgewählter Studierender Mathematik oder Statistik besucht, aber nicht VWL.¶
\[\begin{split}P((M \cup S) \ V) &= P(M) + P(S) - P(M \cap V) - P(S \cap V) - P(M \cap S) - P(M \cap S \cap V)\\
&= 0.658 + 0.59 - 0.166 - 0.126 - 0.434 + 0.106\\
&= 0.62\end{split}\]
e) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig ausgewählter Studierender nur Statistik besucht.¶
\[\begin{split}P(S \ (M \cup V)) &= P(S) - P(M \cap S) - P(V \cap S) + P(M \cap S \cap V)\\
&= 0.136\\
\implies ~~~~~ \text{oder } \\
&= 1 - P(M \cup V)\\
&= 1 - 0.864\\
&= 0.136\end{split}\]
Aufgabe¶
Gegeben sei folgender Zufallsvorgang: Gleichzeitiges Werfen von zwei fairen Würfeln.
a) Geben Sie den Ergebnisraum \(\Omega\) an.¶
\[\Omega = \{1,2,3,4,5,6\} \cdot \{1,2,3,4,5,6\} ~~~~\text{oder: } \Omega = \{(1,2,3,4,5,6)^2\}\]
b) Betrachten Sie im Folgenden die Summe der gewürfelten Augenpaare. Fertigen Sie eine Wertetabelle an, die jedem \(\omega \in \Omega\) deren Augensumme zuordnet.¶
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c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Augensummen.¶
In einem Laplace Experiment gilt:
\begin{equation}
P(A) = \frac{\text{„Anzahl der für A günstigen Ergebnisse“}}{\text{„Anzahl aller möglichen Ergebnisse“}} = \frac{| A |}{| \Omega |}
\end{equation}
\[\begin{split}P(x = 2) &= \frac{1}{36} = P(x = 12)\\
P(x = 3) &= \frac{2}{36} = P(x = 11)\\
P(x = 4) &= \frac{3}{36} = P(x = 10)\\
P(x = 5) &= \frac{4}{36} = P(x = 9)\\
P(x = 6) &= \frac{5}{36} = P(x = 8)\\
P(x = 7) &= \frac{6}{36}\end{split}\]
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 2, 3 oder 4 beträgt.¶
\[\begin{split}P(2 \le x \le 4) &= P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4)\\
&= \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36}\\
&= \frac{6}{36}\\
&= \frac{1}{6}\end{split}\]