Übung 2

Aufgabe 1) Elastizität

Die Elastizität \(\varepsilon\) ist definiert als das Verhältnis zwischen relativer Mengenänderung und relativer Preisänderung. Leiten Sie eine allgemeine Formel für die Punktpreiselastizität her.

Elastizität entlang einer linearen Nachfragekurve.

\(\abs{\varepsilon}>1\):

• Die prozentuale Änderung der Menge ist größer als die Prozentuale Preisänderung.

• preiselastische Nachfrage.

\(\abs{\varepsilon}=1\):

• Die prozentuale Änderung des Preises steigt im gleichen Maße wie die prozentuale Änderung der Nachfrage sinkt.

• preiseinheitselastische Nachfrage.

\(\abs{\varepsilon}<1\):

• Die prozentuale Änderung der Menge ist kleiner als die Prozentuale Preisänderung.

• preisunelastische Nachfrage.

Es folgert sich als allgemeine Formel für die Punktpreiselastizität folgende Formel ab:

\[\varepsilon_{\mathrm{D}} = \dfrac{\dfrac{\delta Q}{Q}}{\dfrac{\delta P}{P}} = \dfrac{\delta Q_{\mathrm{D}}}{\delta P} \cdot \dfrac{P^{*}}{Q^{*}}\]

• Die Punktpreiselastizität gibt die relative Mengenänderung durch eine relative Preisänderung in einem Punkt an.

• Sie nutzt anstelle des Differenzenquotienten den Differentialquotienten.

• Anders als im Lehrbuch wird in weiteren Vorlesungen in der Regel ausschließlich mit der Punktelastizität gearbeitet.

Aufgabe 2) Elastizität

Die Familie Müller geht gerne in der Innenstadt essen. Sie tut dies jeden Monat so oft wie möglich, allerdings in Abhängigkeit des Preises, den sie in dem jeweiligen Monat für eine Mahlzeit zahlen muss. Die Nachfrage nach Abendessen der Familie Müller ist gegeben durch die folgende Nachfragefunktion:

\[Q_{\text{D}}(P) = 20 - 5P\]

a) Berechnen Sie die Punktpreiselastizität der Nachfrage für den Fall, dass der Preis \(P=3\) und \(P=1\) ist.

Aus der Nachfragefunktion und der Punktpreiselastizität folgert:

\[\text{Sei P=3:} ~~~~~~~ \varepsilon_{\text{D}} = -5 \cdot \frac{3}{(20 - 5 \cdot 3)} = -3 ~~~ \Rightarrow ~~~ \abs{3}\]

• Die Nachfrage ist elastisch, \(\abs{3}>1 ~~ \Rightarrow ~~ \text{elastisch}\).

• Eine Preiserhöhung um 1% reduziert die Nachfrage um 3% !

\[\text{Sei P=1:} ~~~~~~~ \varepsilon_{\text{D}} = -5 \cdot \frac{1}{(20 - 5 \cdot 1)} = -0,33 ~~~ \Rightarrow ~~~ \abs{0,33}\]

• Die Nachfrage ist unelastisch, \(\abs{0,33}<1 ~~ \Rightarrow ~~ \text{unelastisch}\).

• Die Preiserhöhung um 3% reduziert die Nachfrage um 0,33% !

b) Berechnen Sie den zugrundeliegenden Preis, wenn die Punktpreiselastizität der Nachfrage gleich -1 ist.

Nachfragefunktion:

\[Q_{\text{D}}(P) = 20 - 5P\]

Berechnung:

\[\varepsilon_{\text{D}} = \frac{\delta Q_{\text{D}}}{\delta P} \cdot \frac{P^{*}}{Q^{*}}\]

\[\begin{split}-1 &= -5 \cdot \frac{P}{(20 -5 \cdot P)} &\\ -1 &= - \frac{P \cdot 5}{(20 -5 \cdot P)} &\\ -1 &= - \frac{P \cdot 5}{5 \cdot (4-P)} &\\ -1 &= - \frac{P}{(4-P)} &~~~~| \cdot 4-P \\ -1 \cdot (4-P) &= - \frac{P}{(4-P)} \cdot (4-P) &\\ -(-P+4) &= - \frac{P \cdot (4-P)}{(4-P)} &\\ -(-P+4) &= -P &\\ -(4-P) &= -P &\\ -(4)-(-P) &= -P &\\ -4 + P &= -P &~~~~| +4 \\ P &= -P + 4 &\\ P+P &= -P + 4 + P &\\ 2P &= 4 &~~~~| :2 \\ P^{*} &= 2 &\end{split}\]

Beweis: (Punkt vor Strich beachten!)

\[\begin{split}-1 = -5 \cdot \frac{2}{(20 -5 \cdot 2)} \\ -1 = -1\end{split}\]

Interpretation:

• Bei einem Preis von 2,00 Eur ist die Nachfrage einheitselastisch, d.h. eine Preiserhöhung um 1% reduziert die Nachfrage um 1% !

c) Welche Faktoren determinieren die Preiselastizität?

Substituierbarkeit / Notwendigkeit:

• Markenzahnpasta: Elastisch, da leicht substituierbar.

• Benzin: Unelastisch, da schwer substituierbar.

Short run / Long run:

• Auf langer Sicht elastischer, Wirtschaftsakteure passen sich an.

Regionaler / Globaler Markt:

• Globaler Markt: Elastisch, Substitute vorhanden.

• Regionaler Markt: Unelastisch, wenig Substitute vorhanden.

Kleiner / Großer Anteil am Gesamtbudget:

• Brotpreis: Eher unelastisch, da nur kleiner Anteil am Budget.

• Hauserpreis: Eher elastisch, da großer Anteil am Budget.

Aufgabe 3) Produktionskosten

Eine Naturkostbar hat folgende Kosten für die Herstellung von Mischgetränken:

Tabelle der Herstellungskosten der Naturkostbar.

Menge \(Q\)	0	1	2	3	4	5	6
Variable Kosten EUR	0	10	25	45	70	100	135
Gesamtkosten EUR	30	40	55	75	100	130	165

a) Berechnen Sie die durchschnittlichen Kosten und die Grenzkosten je produzierter Menge.

Naturkostbar Tabelle zu a).

b) Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen der Produktions- und Kostenfunktion.

Produktionsfunktion:

• Veränderung der (physischen) Produktionsmenge; Abhängigkeit des Faktoreinsatzes. \(Q = f (L, K)\)

Kostenfunktion:

• Verlauf der Kosten bei unterschiedlichen Produktionsmengen; Zusammenhang über Preis der Inputfaktoren: Kosten (TC) = Kapitalkosten (\(r \times K\)) + Arbeitskosten (\(w \times L\))

c) Zeichnen Sie die Kostenkurven aus Aufgabenteil a) und erläutern Sie den Zusammenhang zwischen den Kostenkurven.

Mixgetränke Mengen und Preise Abbildung zu 3 a)

Grenzkostenkurve (MC):

• Unternehmen hat zunehmende Grenzkosten -> abnehmendes Grenzprodukt.

• Einsatz eines weiteren Arbeiters fuhrt zu immer kleineren Outputerhohungen.

• Es wird immer teurer eine weitere Einheit zu produzieren.

Durchschnittskostenkurve (ATC):

• Verlauft U-Formig.

• Fixkosten verteilen sich auf die produzierte Menge (Fixkostendegression).

• Anfangs dominiert der Ruckgang der durchschnittlichen Fixkosten (DK sinkt).

• Ab einer bestimmten Menge dominiert der Anstieg der GK (DK steigen).

Betriebsoptimum:

• Liegt im Schnittpunkt der Durchschnittskostenkurve mit der Grenzkostenkurve.

• An diesem Punkt erreicht die Durchschnittskostenkurve ihr Minimum.

Durchschnittsfixkostenkurve (AFC):

• Die durchschnittlichen Fixkosten können auch mittels Differenz aus ATC und AVC gebildet werden. \(\Rightarrow\) AFC = ATC - AVC

Herleitung

\[\begin{split}AFC &= \frac{FC}{Q} &\\ TC &= FC + VC &| :Q\\ \frac{TC}{Q} &= \frac{FC}{Q} + \frac{VC}{Q} &\\ \Rightarrow AFC &= ATC - AVC &\end{split}\]

Exkurs: Beispiel fur die formale Darstellung von Kostenkurven Beispielhafte Kostenfunktion:

\[C = C(Q) = 30 + 3Q^{2}\]

Es gilt:

\[\begin{split}FK = 30 \\ VK = 3Q^{2}\end{split}\]

\[\begin{split}\text{DVK} &= \frac{3Q^{2}}{3} = 3Q \\ \text{DK} &= \frac{30}{Q} + 3Q \\ \text{GK} &= C'(Q) = 6Q \\ \text{GK} &= MC = \frac{\delta TC}{\delta Q}\\[2em] \text{ATC} &= \frac{\text{Gesamtkosten}}{\text{Menge der Einheiten}}\\ \text{ATC} &= \frac{\text{TC}}{\text{Q}}\end{split}\]

Aufgabe 4) Unternehmungen in Märkten mit vollständiger Konkurrenz

Nach den Misserfolgen mehrerer großer Comicfilme ist der Marktpreis für Comicfiguren in den USA gesunken und liegt bei \(P_{\text{M}}\). Die Firma ’American Toys’ macht deswegen nun Verluste. Bitte lösen Sie die folgenden Aufgaben unter der Annahme, dass die Firma ’American Toys’ in einem vollständigen Konkurrenzmarkt agiert.

Grenzkostenplot der Aufgabe 4. Wobei: MC = Grenzkosten, ATC = durchschnittliche Gesamtkosten, PM = momentaner Preis, QM = momentane Produktionsmenge.

a) Zeichnen Sie die Fläche in die Grafik ein, die den momentanen Verlust der Firma aufzeigt

Momentaner Verlust der „American Toys“ Firma.

Merke: Ist der erste\ Schnittpunkt vom momentanen Preis PM mit der MC Kurve also unterhalb des Schnittpunktes von der MC Kurve mit der ATC Kurve, so erleidet die Firma einen Verlust (die in Rot aufgezeigte Fläche!). Zur Vereinfachung ist hier die MC Kurve als Gerade gezeigt. Diese hingegen würde in realität auch eher U-förmingig verlaufen, wie die ATC Kurve.

Maximaler Gewinn bei(m Schnittpunkt): MR = GK Dies gilt nicht nur beim Monopol, auch bei vollkommender Konkurenz !

Gewinn = Erlös - Kosten Erlös = Gewinn + Kosten

b) Welcher Mindestpreis \(P_{\text{min}}\) muss sich langfristig mindestens einstellen, so dass die Firma im Markt bleiben kann? Zeichnen Sie die dazugehörige Menge in Ihre Grafik ein.

Momentane Marktsitutation der „American Toys“ Firma.

Diesen Punkt nennt man auch den „*break even Point*“ bzw. hier auch den break even Preis\. Somit ist \(P_{\text{min}} = P_{\text{break even}}\) .

c) Welchen Gewinn erzielt die Firma ’American Toys’ in diesem Punkt?

Ab diesem Punkt mit gegebenen \(P_{\text{min}}\) , hat die „American Toys“Firma keinen Gewinn aber auch keinen Verlust. Jener Preis der nun höher als \(P_{\text{min}}\) ist, würde der Firma einen Gewinn einfahren.

d) Markieren Sie den Verlauf der langfristigen Angebotskurve der Firma American Toys in Ihrer Grafik

Bereich der langfristigen Angebotskurve der „American Toys“ Firma.

e) Wie unterscheidet sich die langfristige Marktangebotskurve von der Angebotskurve der Firma ’American Toys’ in einem Markt mit vollständiger Konkurrenz?

Die Firma würde bei vollständiger Konkurrenz nur noch ab dem Level des Betriebsoptimums Anbieten. Das bedeutet, dass der Schnittpunkt von Pmin mit dem Minimum der ATC Kurve dem minimum Preis entspricht bei dem die Firma in den Markt nur einsteigen würde um Wirtschaftlich zu sein. Ab hier beginnt auch der Bereich der langfristigen Angebotsfunktion und entsprechend auch nur hier auf dem verlauf und Bereich der Kurve würde die Firma anbieten. Jener Preis, welcher unterhalb des Betriebsoptimums liegen würde, würde bei vollständiger Konkurrenz keine Marktfähigkeit bedeuten - reiner Verlust.

Langfristige Marktangebotskurve, verläuft waagerecht, d.h. (vollkommen) elastisch.