Übung 2

Beschreibung univariater Datensätze I

Aufgabe 1)

Gegeben seien die Merkmalsbeobachtungen \(x_{i}\) mit:

Originale Tabelle der Merkmalsbeobachtungen.

\(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
\(x_{[i]}\)	3,75	4,43	5,50	3,5	3	3	6,5	6,25	2,5

a) Bestimmen Sie das Arithmetische Mitte, den Median und den Modus.

Zunächst sortieren wir erst einmal die Merkmalsbeobachtungen der Größe nach. Dies ergibt:

Sortierte Tabelle der Merkmalsbeobachtungen.

\(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
\(x_{[i]}\)	2,5	3	3	3,5	3,75	4,43	5,50	6,25	6,5

Occasion.

Arithmetische Mittel:

\[\begin{equation} \bar{x} := \frac{1}{n} \sum\limits^{n}_{i=1} x_{i} \end{equation}\]

\[\implies \frac{1}{9}(2,5 + 3 + \cdots + 6,5) = 4,27\]

Median:

\[\begin{split}\begin{equation} \bar{x}\ho{Med} = \left\{\begin{array}{ll} x_{[\frac{n+1}{2}]} & \text{für \(n\) ungerade}\\ \frac{1}{2}(x_{[\frac{n}{2}]} + x_{[\frac{n}{2}+1]}) & \text{für \(n\) gerade} \end{array}\right. \end{equation}\end{split}\]

\[n:=9 \implies \bar{x}\ho{Med} = x_{[5]} = 3,75\]

Modus:

\[\bar{x}\ho{Mod} = \{{3}\}\]

Die 3 ist der Wert, welcher am häufigsten mehrfach auftritt und somit hier auch den Wert des Modus bestimmt.

Grafische Darstellung zur Bestimmung des Modus - Gnuplot

Aufsummierung der einzelnen Häufigkeiten der Elemente im vorliegenden Datensatz.

Sum occasion.

b) Geben Sie an, ob die empirische Verteilung linkssteil, rechtssteil oder symmetrisch ist. Begründen Sie kurz Ihre Antwort.

Der Vergleich vom Arithmetische Mittel, Median und Modus ergibt: \(\bar{x} > \bar{x}^{Med} > \bar{x}^{Mod}\)

\(\implies\) Die Verteilung ist linkssteil bzw. rechtsschief

c) Bestimmen Sie die Varianz und die Standardabweichung.

Varianz:

\[\begin{equation} s^{2} = \frac{1}{n} \sum\limits^{n}_{i=1} (x_{i}-\bar{x})^2 ~~~ = ~~~ (\frac{1}{n} \sum\limits^{n}_{i=1} x_{i}^2)-\bar{x}^2 \end{equation}\]

\[= \frac{1}{9}(2,5^2 + 3^2 + \cdots + 6,5^2)- 4,27^2 = 1,9615\]

Standardabweichung:

Die Standardabweichung ergibt sich aus der quadratischen Wurzel der Varianz. Es interessiert hier nur das positive Ergebnis.

\[\begin{equation} s = \sqrt{s^{2}} \end{equation}\]

\[~~~~~~ = 1,4005\]

d) Bestimmen Sie die Schiefe und die Wölbung.

Schiefe:

\[\begin{equation} \gamma_{1,M} = \frac{\hat{M}_{3}}{\left\lvert\left(\hat M_2\right)^{3/2}\right\rvert} = \frac{\hat{M}_{3}}{s^{3}} \end{equation}\]

\[\implies \hat{M}_{3} = \frac{1}{n} \sum\limits^{n}_{i=1} (x_{i}-\bar{x})^3 = \frac{1}{9}[(2,5-4,27)^3 + \cdots + (6,5-4,27)^3] = \frac{1}{9} \cdot 10,4778 = 1,1642\]

\[\gamma_{1,M} = \frac{\hat{M}_{3}}{s^3} = \frac{1,1642}{1,4005^3} = 0,4238\]

Wölbung:

\[\begin{equation} \gamma_{2} = \frac{\hat{M}_{4}}{|\hat{M}_{2}|^2} = \frac{\hat{M}_{4}}{s^4} \end{equation}\]

\[\hat{M}_{4} = \frac{1}{n} \sum\limits^{n}_{i=1} (x_{i}-\bar{x})^4 = \frac{1}{9}[(2,5-4,27)^4 + \cdots + (6,5-4,27)^4] = 2,3389\]

\[\implies \gamma_{2} = \frac{\hat{M}_{4}}{s^4} = \frac{2,3389}{1,4005^4} = 1,6701\]

e) Geben Sie an, wie sich das arithmetische Mittel, der Median, der Modus und die Varianz ändern, wenn die \(x_{i}\) alle um 20% steigen.

\[z_{i} = (1+0,2) \cdot x_{i} ~~~ \text{mit} ~~~ i=\{1,\cdots,9\}\]

Arithmetische Mittel:

\[\bar{z} = 1,2 \cdot \bar{x} = 5,124\]

Median:

\[\bar{z}\ho{Med} = 1,2 \cdot \bar{x}\ho{Med} = 1,2 \cdot 3,75 = 4,5\]

Modus:

\[\bar{z}\ho{Mod} = 1,2 \cdot \bar{x}\ho{Mod} = 1,2 \cdot 3 = 3,6\]

Für die Varianz nutzen wir die Transformationsregel Satz 2.33 der [Folie 102] aus dem Statistik I Skript.

Varianz:

\[s\ti{z}^{2} = 1,2^2 \cdot s\ti{x}^2 = 2,8246\]

f) Geben Sie an, wie sich das arithmetische Mittel, der Median und der Modus ändern, wenn sich \(x_{7}\) verdoppelt. Die Tendenz genügt als Antwort.

• Arithmetische Mittel: unverändert

• Median: unverändert

• Modus: steigt

g) Gegeben sei eine zweite Stichprobe vom Umfang n = 10 mit \(\bar{z}\) = 50 und \(\sum^{n}_{i=1} (z_{i}-\bar{z})^2 = 250\). Geben Sie an, welche Stichprobe die größere Streuung aufweist?

Siehe zunächst im Skript [Folie 106], Stichwort: Variationskoeffizient. Aber erst einmal schauen wir uns den Unterschied der Streuung an. Hieraus können erste ungenaue Schlüsse gezogen werden. !!Vorsicht!!

\[\begin{equation} s\ti{y}^2 = \frac{1}{n} \sum\limits^{n}_{i=1} (y_{i}-\bar{y})^2 \end{equation}\]

\[\begin{split}\left.\begin{array}{r} n = 10\\ \bar{y}= 50 \\ \sum (y_{i}-\bar{y})^2 = 250 \end{array}\right\} ~~~ s\ti{y}^2 = \frac{1}{10} \cdot 250 = 25\end{split}\]

\[s\ti{y}^2 > s\ti{x}^2 = 1,9615\]

\[v_{x} = \frac{s_{x}}{\bar{x}} = \frac{1,4005}{4,27} = 0,3280\]

\[v_{y} = \frac{s_{y}}{\bar{y}} = \frac{\sqrt{25}}{50} = 0,1\]

\[\implies v_{x} > v_{y}\]

Die Stichprobe \(x\) weist eine höhere Streuung auf.

Aufgabe 2)

Gegeben seien nachfolgende \(n = 14\) Merkmalsbeobachtungen:

Tabelle der 14 Merkmalsbeobachtungen.

5,5	6	8	8,5	10,6	12,5	13,2
13,7	15	15,2	16,6	16,8	18,9	19,4

a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel \(\bar{x}\) der Merkmalsbeobachtungen.

\[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum\limits^{n}_{i=1} x_{i} = \frac{1}{14}(5,5+6+8+ \cdots +19,4) = 12,85\]

b) Bilden Sie die Klassen über 5 bis 10, über 10 bis 15, über 15 bis 20 (jeweils bis einschließlich) und berechnen Sie das arithmetische Mittel für gruppierte Daten \(\bar{x_{k}}\) für jede Klasse und daraus erneut das arithmetische Mittel \(\bar{x}\).

Tabelle der \(\bar{x}\) der jeweiligen Merkmalsgruppen.

Klassen	Stichprobe	\(\bar{x_{k}}\)
(5:10]	5,5 ; 6 ; 8 ; 8,5	7
(10:15]	10,6 ; 12,5 ; 13,2 ; 13,7 ; 15	13
(15:20]	15,2 ; 16,6 ; 16,8 ; 18,9 ; 19,4	17,38

Notwendig für die folgende Berechnung ist das Wissen aus dem folgenden Aufgabenteil c):

\[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum\limits^{3}_{k=1} \bar{x}_{k} \cdot n_{k} = \frac{1}{14} ((7 \cdot 4) + (13 \cdot 5) + (17,38 \cdot 5) ) = 12,85\]

c) Bestimmen Sie mithilfe der Klassenmitten eine Näherung \(\bar{x}^{'}\) für das arithmetische Mittel und vergleichen Sie die bisher ermittelten Ergebnisse.

Tabelle der \(n_{k}\) der jeweiligen Merkmalsgruppen.

Klassen	Klassenmitte	\(n_{k}\)
(5:10]	\(\frac{1}{2} \cdot (5+10)=7,5\)	4
(10:15]	12,5	5
(15:20]	17,5	5

\[\bar{x}^{'} = \frac{1}{n} \sum\limits^{3}_{k=1} \bar{x}_{k}^{'} \cdot n_{k} = \frac{1}{14} (7,5 \cdot 4 + 12,5 \cdot 5 + 17,5 \cdot 5) = 12,8571 \approx \bar{x}\]

d) Bestimmen Sie aus der klassierten Häufigkeitsverteilung ein möglichst kleines Intervall, welches das arithmetische Mittel enthält.

\[\bar{x}\ho{max} = \frac{1}{n} \sum\limits^{3}_{k=1} \bar{x}_{k}\ho{max} \cdot n_{k} = \frac{1}{14} (10 \cdot 4 + 15 \cdot 5 + 20 \cdot 5) = 15,3571\]

\[\bar{x}\ho{min} = \frac{1}{n} \sum\limits^{3}_{k=1} \bar{x}_{k}\ho{min} \cdot n_{k} = \frac{1}{14} (5 \cdot 4 + 10 \cdot 5 + 15 \cdot 5) = 10,3571\]

\[\implies \bar{x} \in \text{(}10,3571 ; 15,3571\text{]}\]

Aufgabe 3)

Der Absatz eines Gutes ist in nachfolgender Tabelle gegeben. Berechnen Sie die mittlere jährliche relative Absatzsteigerung.

Absatztabelle.

Jahr \(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Absatz \(x_{[i]}\)	9	20	40	75	90	140	224	410	705	1.036	1.718

Bei der folgenden Wurzel wählen wir die 10’Wurzel, da wir 10 Periodendurchläufe haben.

\[\bar{x}\ho{Geo} = \sqrt[10]{\frac{x_{2}}{x_{1}} \cdot \frac{x_{3}}{x_{2}} \cdot ~~ \cdots ~~ \cdot \frac{x_{11}}{x_{10}}} = \sqrt[10]{\frac{x_{11}}{x_{1}}} = \sqrt[10]{\frac{1718}{9}} = 1,6907\]

\(\implies\) Es liegt eine durchschnittliche jährliche Absatzsteigerung von 69% vor.

Aufgabe 4)

Für vier Länder seien sowohl das BIP als auch das BIP/Kopf (jeweils in ) gegeben

BIP-Tabelle.

BIP	15.000	24.000	15.000	25.000
BIP/Kopf	1.500	500	1.250	2.500

Bestimmen Sie das länderübergreifende mittlere BIP/Kopf.

Zunächst gilt es zu Bedenken, dass in “jedem” Land die Bemessungsgrundlange verschieden ist. Somit gilt es das harmonische Mittel zu Betrachten.

\[\bar{x}\ho{Ham} = \frac{n}{\sum\limits^{k}_{k=1} \frac{n_{k}}{x_{k}}} = \frac{1500 + \cdots + 25000}{\frac{1500}{15000} + \cdots + \frac{2500}{25000}} = 987,5\]