Übung 1¶

zur Vorlesung „Mathematik für Volkswirtschaftslehre I“¶

Aufgabe 1.1¶

Berechnen Sie und vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich:

1. $\sum_{k=10}^{20}(2k+3)$

Das Ergebnis lautet**$363$*.

Methode 1 (Arithmetische Reihe)

Erster Summand ($k=10$): $2(10) + 3 = 23$
Letzter Summand ($k=20$): $2(20) + 3 = 43$
Anzahl der Summanden: $20 - 10 + 1 = 11$
Summenformel: $\frac{11}{2} \cdot (23 + 43) = \frac{11}{2} \cdot 66 = 363$

Methode 2 (Aufspalten der Summe)

\[\sum_{k=10}^{20}(2k+3) = 2 \sum_{k=10}^{20} k + \sum_{k=10}^{20} 3\]

\[2 \cdot \left(\frac{20 \cdot 21}{2} - \frac{9 \cdot 10}{2}\right) + 11 \cdot 3 = 2 \cdot (210 - 45) + 33 = 330 + 33 = 363\]

1. $\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}$

Das Ergebnis lautet :math:`32`.

Über den Binomialsatz:

\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n \implies \sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k} = 2^5 = 32\]

*Alternativ durch Ausrechnen der Binomialkoeffizienten:

\[\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32\]

1. $\sum_{j=0}^{1}\sum_{i=10}^{13}\frac{i}{j+1}$

Das Ergebnis lautet :math:`69`.

Schritt 1 (Faktoren trennen):

\[\sum_{j=0}^{1}\sum_{i=10}^{13}\frac{i}{j+1} = \left(\sum_{j=0}^{1} \frac{1}{j+1}\right) \cdot \left(\sum_{i=10}^{13} i\right)\]

Schritt 2 (Einzelne Summen berechnen):

Summe über $j$: $\frac{1}{0+1} + \frac{1}{1+1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
Summe über $i$: $10 + 11 + 12 + 13 = 46$
Schritt 3 (Zusammenführen):

\[\frac{3}{2} \cdot 46 = 3 \cdot 23 = 69\]

Aufgabe 1.2¶

Berechnen Sie die folgende Summe und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich:

\[\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{10}\frac{1}{5}i^{2}j\]

Schritt-für-Schritt-Rechnung:

Unabhängige Faktoren trennen:

Da $\frac{1}{5}$ und $i^2$ für die innere Summation über $j$ konstant sind, lässt sich die Doppelsumme in zwei getrennte Einzel Summen aufspalten:

\[\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{10}\frac{1}{5}i^{2}j = \frac{1}{5} \cdot \left( \sum_{i=1}^{5} i^{2} \right) \cdot \left( \sum_{j=1}^{10} j \right)\]

Summe über :math:`j` berechnen:

\[\sum_{j=1}^{10} j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55\]

Summe über :math:`i` berechnen:

\[\sum_{i=1}^{5} i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55\]

Teilergebnisse zusammenführen:

\[\frac{1}{5} \cdot 55 \cdot 55 = 11 \cdot 55 = 605\]

Aufgabe 1.3¶

DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie sie an:

1. [X] $\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}a_{ij}$
1. [ ] Bei der Berechnung einer Doppelsumme kommt es entscheidend auf die Reihenfolge der Summation an.
1. [X] Bei der Berechnung von $\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}$ sind $n \cdot m$ Werte zu addieren.
1. [X] Wenn $\mu_{x}=\frac{1}{T}\sum_{i=1}^{T}x_{i}$ ist, dann gilt $\sum_{i=1}^{T}(x_{i}-\mu_{x})=0$.
1. [ ] Wenn $\mu_{x}=\frac{1}{T}\sum_{i=1}^{T}x_{i}$ ist, dann gilt $\sum_{i=1}^{T}(x_{i}-\mu_{x})^{2}=0$.

Warum b, d und e

a) Bei endlichen Summen gilt das Kommutativgesetz der Addition. Die Summationsreihenfolge einer Doppelsumme darf beliebig vertauscht werden.
c) Die innere Summe läuft über $n$ Elemente, die äußere Summe läuft $m$-mal durch. Insgesamt werden somit $n \cdot m$ Summanden addiert.
d) Dies ist eine fundamentale Eigenschaft des arithmetischen Mittels (die Summe aller Abweichungen vom Mittelwert ist immer Null):

\[\frac{1}{T}\sum_{i=1}^{T} (x_{i} - \mu_{x}) = \frac{1}{T}\sum_{i=1}^{T} x_{i} - \frac{1}{T}\sum_{i=1}^{T} \mu_{x} = T \mu_{x} - T \mu_{x} = 0\]

Warum die anderen falsch sind

b) Da das Vertauschen der Summationsreihenfolge das Ergebnis nicht verändert (siehe Aussage a), spielt die Reihenfolge keine Rolle.
e) Hier handelt es sich um die Summe der quadratischen Abweichungen (Zähler der Varianz). Da Quadratzahlen stets $\geq 0$ sind, wäre diese Summe nur dann Null, wenn alle Werte $x_{i}` exakt identisch mit dem Mittelwert :math:$mu_{x}` sind.

Aufgabe 1.4¶

1. Berechnen Sie die Summe $\sum_{k=1}^{3}(-1)^{k}k^{k}$

Schritt-für-Schritt-Rechnung:

$(-1)^1 \cdot 1^1 + (-1)^2 \cdot 2^2 + (-1)^3 \cdot 3^3 = -1 + 4 - 27 = -24$.

1. Schreiben Sie die folgende Summe mit Hilfe des Summenzeichens:
\[2x_{1} y_{1} + 2x_{2} y_{2} + 2x_{3} y_{3} + \dots + 2x_{20} y_{20}\]

\[\sum_{i=1}^{20} 2x_{i}y_{i} \quad \text{oder} \quad 2\sum_{i=1}^{20} x_{i}y_{i}\]

Laufindex: $i$ (oder ein beliebiger anderer Buchstabe wie $k$) startet bei $1$ und läuft bis $20$. Struktur: Da der Faktor $2$ in jedem Term vorkommt, kann er entweder in der Summe bleiben oder als konstanter Faktor vor das Summenzeichen gezogen werden.

Aufgabe 1.5¶

Gegeben seien die Mengen:

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$
$C = \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

$A \cap (B \cap C)$

Das Ergebnis lautet :math:`{6}`.

Schnittmenge :math:`B cap C`: Das einzige Element, das sowohl in $B$ als auch in $C$ vorkommt, ist $6$. Es gilt $B \cap C = \{6\}$.
Schnittmenge mit :math:`A`: Da die Zahl $6$ auch in Menge $A$ liegt, ist :math:`A cap (B cap C)
= {6}`.
$A \setminus (B \cup C)$

Das Ergebnis lautet :math:`{1}`.

Vereinigungsmenge :math:`B cup C`: Alle Elemente aus $B$ und $C$ zusammengefasst ergeben $B \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$.
Differenzmenge zu :math:`A`: Es werden alle Elemente aus $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ entfernt, die auch in $B \cup C$ enthalten sind (das betrifft die Zahlen $2$ bis $10$). Übrig bleibt $A \setminus (B \cup C) = \{1\}$.

Aufgabe 1.7¶

Die folgenden Aussagen befassen sich mit Aspekten der Logik. Dazu seien $P$ und $Q$ Aussagen. DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie an:

1. [ ] $P \Rightarrow Q$ bedeutet, wenn $Q$ wahr ist, ist auch $P$ wahr.
1. [X] $P \Leftrightarrow Q$ ist gleichbedeutend mit $P \Rightarrow Q$ und $Q \Rightarrow P$.
1. [ ] $P \Rightarrow Q$ ist gleichbedeutend mit der Aussage: $P$ ist notwendig für $Q$.
1. [X] $P \Leftrightarrow Q$ bedeutet: $P$ ist notwendig und hinreichend für $Q$.
1. [X] $P \Rightarrow Q$ ist äquivalent zu: Wenn $Q$ nicht wahr ist, ist auch $P$ nicht wahr.

Warum b, d und e

b) $P \Leftrightarrow Q$ ist gleichbedeutend mit $P \Rightarrow Q$ und $Q \Rightarrow P$. Dies ist die klassische formale Definition der Äquivalenz.
d) $P \Leftrightarrow Q$ bedeutet: $P$ ist notwendig und hinreichend für $Q$. Das ist lediglich die textliche Umschreibung der mathematischen Äquivalenz aus b).
e) $P \Rightarrow Q$ ist äquivalent zu: Wenn $Q$ nicht wahr ist, ist auch $P$ nicht wahr. Dies beschreibt die sogenannte Kontraposition ($\neg Q \Rightarrow \neg P$), die logisch immer denselben Wahrheitswert hat wie die ursprüngliche Implikation.

Warum die anderen falsch sind

Aussage a) verdreht die Richtung der Implikation (es müsste heißen: “wenn $P$ wahr ist, ist auch $Q$ wahr”).
Bei Aussage c) verhält es sich genau umgekehrt: $P$ ist die hinreichende Bedingung für $Q$, nicht die notwendige.

Aufgabe 1.8¶

Die folgenden Aussagen befassen sich mit Logik. DREI der folgenden Aussagen sind WAHR. Kreuzen Sie an:

1. [ ] $x^{2} > 0 \Leftrightarrow x > 0$
1. [X] $x = 0$ und $y = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 0$
1. [ ] $x = 0$ und $y = 0 \Leftrightarrow x^{2} \cdot y^{2} = 0$
1. [X] $3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ oder $x = 2$
1. [X] Aus $x^{2} = 16$ folgt nicht $x = 4$.

Warum b, d und e

b) $x = 0$ und $y = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 0$. Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, ist die Summe zweier Quadrate nur dann Null, wenn beide Zahlen selbst Null sind.
1. $x(x - 2)=0 \Leftrightarrow x=0$ oder $x=2$.
e) Aus $x^{2}=16$ folgt nicht $x=4$. Diese Aussage (“…folgt nicht…”) ist korrekt formuliert. Aus $x^{2}=16$ folgt nämlich, dass $x=4$ oder $x=−4$. Es gibt keine zwingende Implikation nur auf die positive Zahl.

Warum die anderen falsch sind

Bei a) kann $x$ auch negativ sein (z.B. ist für $x = −3$ das Quadrat $x^{2} = 9 > 0$).
Bei c) steht ein logisches “und”, aber damit ein Produkt Null ergibt, reicht ein logisches “oder” ($x=0 \vee y=0$) völlig aus.