Preisermittlung

Kaffeebecher Preisfindung via Studentenvoting

In diesem einleitenden Beispiel geht es darum, den optimalen Preis für einen angebotenen Kaffeebecher der Universität Hamburg zu ermitteln – einschließlich der Unterschrift von Prof. Dr. Armin Rott. Die Studierenden hatten die Möglichkeit, über ein Online-Umfragetool ihre Preisangebote abzugeben. Aus diesen Daten soll anschließend mithilfe eines idealisierten Umsatzmodells der optimale Preis abgeleitet werden.

Grafische Darstellung - Gnuplot

Preis-Nachfrage-Diagramm (P über Q)

data plot.

Umsatz-Diagramm (R über Q) - Preisermittlung

Ein Preis-Mengen-Diagramm allein verrät noch nicht, welcher Preis den höchsten Gesamtumsatz bringt:

Das Dilemma bei P(Q)

Ein hoher Preis \(P\) liefert viel Marge pro Becher, bricht aber bei der Nachfragemenge \(Q\) ein. Ein niedriger Preis bringt viele Käufer, aber kaum Ertrag pro Becher.

Die Lösung mit R(Q)

Erst durch die Multiplikation \(R = P \cdot Q\) führst du beide Effekte zusammen. Der Umsatz \(R\) steigt zunächst mit steigender Menge \(Q\), erreicht einen Peak und fällt wieder ab, wenn der Preis \(P\) zu stark gesenkt werden muss, um noch zusätzliche Käufer zu gewinnen.

data qr plot.

Wie die beiden Diagramme mathematisch zusammenhängen

Der optimale Preis ergibt sich in zwei Schritten:

1. Schritt 1 (aus dem Umsatz-Plot \(R(Q)\)):

Am Scheitelpunkt des Fits (der Parabel) liest man die optimale Menge \(Q_{opt}​ = 131\) und den maximalen Umsatz \(R_{max}​ = 1307,38\) EUR ab.

1. Schritt 2 (aus dem Preis-Plot \(P(Q)\) oder per Rechnung):

• Rechnerisch: \(P_{opt}​ = \frac{R_{max}}{Q_{opt}} ​​= \frac{1307,38}{131} ​= 9,98\) EUR.

• Grafisch: Wenn man im ersten Plot bei \(Q = 131\) nach unten schaut, geht man im zweiten Plot (\(P\) über \(Q\)) genau bei \(Q = 131\) nach oben zur Kurve/Punktewolke und liest auf der Y-Achse \(P = 9,98\) EUR ab.

• Ökonomische Randnotiz: Wenn variable Stückkosten als konstant pro Stück gelten, dann ist Gewinnmaximum gleich Umsatzmaximum, weil \(\pi (Q) = R(Q) - kQ\) und \(kQ\) linear ist und den Scheitelpunkt einer Parabel nicht verschiebt (bei genau quadratischem \(R(Q)\)).

• Somit ergibt sich der optimale Preis \(P_{opt}\), wenn \(R\) im maximum steht: \(P_{opt} = \frac{R(Q_{opt})}{O_{opt}}\).

Nachfragekurve - Regressionskurven

Warum die quadratische Regression bei R(Q) mathematisch korrekt ist

Der Wechsel zur quadratischen Regression bei R(Q) ist kein Willkür-Fit, sondern folgt direkt aus der Mikroökonomie:

1. Unter der Annahme einer linearen Nachfrage:

\(P(Q) = a - b \cdot Q\)

1. Und dem Einsetzen in die Umsatzfunktion \(R = P \cdot Q\), erhalten wir eine quadratische Umsatzfunktion:

\(R(Q) = (a - b \cdot Q) \cdot Q = a \cdot Q - b \cdot Q^{2}\) \(\Rightarrow\) welches die Parabel-Form gibt.

3 . Hierbei ist \(R(Q)\) eine nach unten geöffnete Parabel. Der quadratische Fit (\(y = ax^{2}+bx+c\)) ist somit die mathematisch exakte Entsprechung einer linearen Nachfragefunktion. Der Scheitelpunkt dieser Parabel markiert dein Ertragsmaximum (\(P = 9,98\) EUR, bei \(R = 1307,38\) EUR und \(Q = 131\)).

Warum für die Nachfragekurve \(P(Q)\) ein rationaler Fit passt

Bei der reinen Nachfragekurve sinkt die Zahlungsbereitschaft mit steigender Menge. Daher wählen wir eine Funktionsform, die im betrachteten Bereich monoton fallend ist und für große Q \(Q\) gegen \(0\) (bzw. gegen einen sinnvollen Minimalpreis) tendiert. Ein rationaler Fit der Form (\(P(Q) \approx \frac{1}{Q}​\)) erfüllt diese qualitative Eigenschaft: Für zunehmendes \(Q\) fällt der Preis und nähert sich einer Asymptote an.

• Extra-Note: Zur Erinnerung \(\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}\). Hierbei ist \(\frac{1}{x}\) eine gebrochen-rationale Funktion und beschreibt eine Hyperbel.

Extraplot - combined

data combined plot.