Bestimme Funktion

Mit zwei lokalen Maxima

Daniel Weschke

14. Oktober 2018

1 Fragestellung

Fragestellung

Bestimmen Sie eine Funktion \(f(x)\) die relative Maxima an den Stellen \(x=1\) und \(x=-1\) aufweisen.

Da für die gesuchte Funktion Maxima vorgegeben sind, definieren wir zuerst die Funktion in der ersten Ableitung. Zur Erinnerung: Die Nullstellen der ersten Ableitung entsprechen die Stellen der Extrema einer Funktion.

2 Bedingungen

2.1 Notwendige Bedingungen / Festlegung der Extremstellen

Für die beiden geforderten Maxima definieren wir ein zusätzliches gewähltes lokales Minimum an der Stelle \(x=0\), da zwischen zwei Maxima immer ein Minimum sein muss.

Bedingung

Notwendige Bedingung für Extrema: \(f^\prime(x)=0\)

Mit unseren drei notwendigen Bedingungen für Extrema

\[\begin{split}\begin{split} f^\prime(-1) &= 0 \\ f^\prime(0) &= 0 \\ f^\prime(1) &= 0 \end{split}\end{split}\]

lautet die vorläufige Funktion der ersten Ableitung in Nullstellenform:

\[f_v^\prime(x) = (x+1)(x-1)x\]

Vorläufig, da wir mit der gemachten Bedingung nur Extrema festgelegt haben, nicht aber ob die Extrema Maxima oder Minima sind. Dies muss im nächsten Schritt überprüft werden.

Für das einfachere rechnen formen wir die Funktion der ersten Ableitung in die Normalform um

\[\begin{split}\begin{split} f_v^\prime(x) &= (x+1)(x-1)x \\ &= (x^2+x-x-1)x \\ &= (x^2-1)x \\ &= x^3 - x \end{split}\end{split}\]

2.2 Hinreichende Bedingungen / Überprüfung auf Maxima und Minima

Bedingung

Hinreichende Bedingung für Maxima: \(f^\prime(x)=0\) und \(f^{\prime\prime}(x) < 0\)

Hinreichende Bedingung für Minima: \(f^\prime(x)=0\) und \(f^{\prime\prime}(x) > 0\)

Zweite Ableitung der vorläufigen Funktion:

\[f_v^{\prime\prime}(x) = 3x^2 - 1\]

Für die hinreichenden Bedingungen angewandt auf unsere Extremstellen folgt

\[\begin{split}\begin{split} f_v^{\prime\prime}(-1) &= 3(-1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2 &> 0 \leadsto \text{Minimum} \\ f_v^{\prime\prime}(0) &= 3(0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1 &< 0 \leadsto \text{Maximum} \\ f_v^{\prime\prime}(1) &= 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2 &> 0 \leadsto \text{Minimum} \end{split}\end{split}\]

Dies entspricht genau dem entgegengesetzten Zustand der Forderung. Somit muss die vorläufige Funktion der ersten Ableitung korrigiert werden: Also negiert werden.

\[\begin{split}\begin{split} f^\prime(x) &= (-1) \cdot f_v^\prime(x) \\ &= (-1) \cdot (x^3 - x) \\ &= -x^3 + x \end{split}\end{split}\]

Wie man mit der Nullstellenform der ersten Ableitung leicht sieht, stimmen die Erkenntnisse bzw. gelten die notwendige Bedingung für Extrema weiterhin:

\[\begin{split}\begin{split} f^\prime(x) &= (-1) \cdot f_v^\prime(x) \\ &= (-1) \cdot (x+1)(x-1)x \\ &= -(x+1)(x-1)x \\ \end{split}\end{split}\]

Zweite Ableitung der neuen korrigierten Funktion:

\[f^{\prime\prime}(x) = -3x^2 + 1\]

Für die neue Funktion folgt, bei der Überprüfung der hinreichenden Bedingung, offensichtlich

\[\begin{split}\begin{split} f^{\prime\prime}(-1) &= -3(-1)^2 + 1 = -3 + 1 = -2 &< 0 \leadsto \text{Maximum} \\ f^{\prime\prime}(0) &= -3(0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 &> 0 \leadsto \text{Minimum} \\ f^{\prime\prime}(1) &= -3(1)^2 + 1 = -3 + 1 = -2 &< 0 \leadsto \text{Maximum} \end{split}\end{split}\]

Dies entspricht genau dem geforderten Zustand. Und wir können nun die gesuchte Stammfunktion durch Integration bestimmen.

3 Integration / Bestimmung der Stammfunktion

Die gesuchte Funktion \(f(x)\) wird durch Integration bestimmt.

\[\begin{split}\begin{split} f(x) &= \int f^\prime(x) \,dx \\ &= \int (-x^3 + x) \,dx \\ &= -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C \end{split}\end{split}\]

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten, für eine spezielle Funktion, geben wir einen Punkt der Funktion vor. Als Beispiel wird \(f(x=0)=0\) gewählt.

\[\begin{split}\begin{split} f(0) = -\frac{1}{4}(0)^4 + \frac{1}{2}(0)^2 + C &= 0 \\ 0 + 0 + C &= 0 \\ C &= 0 \end{split}\end{split}\]

Schließlich lautet eine spezielle Funktion \(f(x)\) die relative Maxima an den Stellen \(x=1\) und \(x=-1\) aufweist;

\[f(x) = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2\]

Funktion.